Đề bài

Một hình nón có bán kính đáy bằng \(2\,cm\), chiều cao hình nón là \(h\,\,\left( {cm} \right)\).

a) Độ dài đường sinh của hình nón là \(\sqrt {{h^2} + 4} \,\,\,\left( {cm} \right)\).

Đúng

Sai

b) Thể tích của hình nón là \(4\pi h\,\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Đúng

Sai

c) Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi .2\,.\sqrt {{h^2} + 4}  + \pi {.2^2}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Đúng

Sai

d) Chiều cao của hình nón trên bằng đường kính một hình cầu, diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu. Chiều cao của hình nón là \(2\,\sqrt 3 \,cm\).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Độ dài đường sinh của hình nón là \(\sqrt {{h^2} + 4} \,\,\,\left( {cm} \right)\).

Đúng

Sai

b) Thể tích của hình nón là \(4\pi h\,\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Đúng

Sai

c) Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi .2\,.\sqrt {{h^2} + 4}  + \pi {.2^2}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Đúng

Sai

d) Chiều cao của hình nón trên bằng đường kính một hình cầu, diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu. Chiều cao của hình nón là \(2\,\sqrt 3 \,cm\).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức liên hệ giữa đường sinh với bán kính đáy và chiều cao: \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \,\,\,\left( {cm} \right)\)

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).

c) Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón.

d) Tính diện tích mặt cầu. Lập phương trình và giải phương trình tìm h.

a) Đúng

Đường sinh của hình nón là:

\(l = \sqrt {{h^2} + {2^2}}  = \sqrt {{h^2} + 4} \,\,\,\left( {cm} \right)\).

b) Sai

Thể tích của hình nón là:

\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.2^2}h = \frac{4}{3}\pi h\,\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

c) Đúng

Diện tích toàn phần của hình nón là:

\({S_{tp}} = \pi .Rl + \pi .{R^2}\, = \)\(\pi .2\,.\sqrt {{h^2} + 4}  + \pi {.2^2}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

d) Đúng

Diện tích mặt cầu là: \(4\pi {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}\)

Theo đề bài ta có:

\(\pi .2\,.\sqrt {{h^2} + 4}  + \pi {.2^2}\,\, = \pi {h^2}\)

\(2\,.\sqrt {{h^2} + 4}  + 4\, = {h^2}\)

\(2\,.\sqrt {{h^2} + 4} \, = {h^2} - 4\,\,\,\left( {h > 2} \right)\)

\(4\,.\left( {{h^2} + 4} \right)\, = {h^4} - 8\,h{\,^2} + 16\,\left( {h > 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}{h^4} - 12{h^2} = 0\\{h^2}\left( {{h^2} - 12} \right) = 0\end{array}\)

\({h^2} = 0\) hoặc \({h^2} = 12\)

suy ra \(h = 0\,\,\,\left( L \right)\); \(h =  - 2\sqrt 3 \,\,\,\left( L \right)\); \(h = 2\sqrt 3 \) (TM).

Vậy chiều cao của hình nón là \(2\,\sqrt 3 \,cm\).

Đáp án: ĐSĐĐ