Đề bài

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}}\) là

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Phương pháp giải

Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } f(x) = {y_0}\).

Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = {\rm{\;}} + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = {\rm{\;}} - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = {\rm{\;}} + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = {\rm{\;}} - \infty \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tiệm cận ngang:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {x - \frac{4}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x - \frac{4}{x}}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  = \sqrt 1  = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x - \frac{4}{x}} \right) =  + \infty \) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x - \frac{4}{x}}} = 0\).

Vậy đồ thị có tiệm cận ngang là y = 0.

Tiệm cận đứng:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}}\) không xác định nên x = 2 không phải tiệm cận đứng.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \) nên  x = -2 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là x = -2.

Đáp án : B