Người ta thiết kế một công trình kiến trúc như hình bên. Mái nhà là 3 hình nón có kích thước giống nhau. Tính số tiền sơn mặt trên của mái nhà, biết giá 1 (m2) = 200.000 vnđ, chiều cao bằng chiều rộng của hình nón. Chiều cao của mái nhà là giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(h = \frac{1}{{{a^{\rm{2}}} + 4{b^{\rm{2}}}}} + \frac{1}{{{b^{\rm{2}}}{\rm{ + 4}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} + \frac{4}{{{\rm{10ab}}}}\) thỏa mãn điều kiện hai số dương a, b; a + b = 1. (đơn vị là m) (lấy \(\pi \approx 3,14\), diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A.
27 284 000 (vnđ).
-
B.
28 284 000 (vnđ).
-
C.
29 284 000 (vnđ).
-
D.
30 284 000 (vnđ).
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(h = \frac{1}{{{a^{\rm{2}}} + 4{b^{\rm{2}}}}} + \frac{1}{{{b^{\rm{2}}}{\rm{ + 4}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} + \frac{4}{{{\rm{10ab}}}}\).
Từ đó tính được bán kính r, đường sinh l.
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón bán kính r, đường sinh l là:
\({S_{xq}} = \pi rl\).
Số tiền sơn mặt trên của mái nhà = tổng diện tích xung quanh của 3 mái . giá sơn \(1{m^2}\).
+) Với a, b > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\frac{1}{{\sqrt {ab} }}\end{array} \right.\) suy ra \(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\), do đó \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{{a + b}}\)
suy ra \(\frac{{b + a}}{{ab}} = \frac{4}{{a + b}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^2} = 4ab\\{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab = 0\\{a^2} - 2ab + {b^2} = 0\\{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\a - b = 0\\a = b\end{array}\)
+) Áp dụng vào biểu thức \(h = \frac{1}{{{a^{\rm{2}}} + 4{b^{\rm{2}}}}} + \frac{1}{{{b^{\rm{2}}}{\rm{ + 4}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} + \frac{4}{{{\rm{10ab}}}}\), ta có: \(\frac{1}{{{a^{\rm{2}}} + 4{b^{\rm{2}}}}} + \frac{1}{{{b^{\rm{2}}} + {\rm{4}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} \ge \frac{4}{{5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}\)
Suy ra: \(\frac{1}{{{a^{\rm{2}}} + 4{b^{\rm{2}}}}} + \frac{1}{{{b^{\rm{2}}} + {\rm{4}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} + \frac{4}{{{\rm{10ab}}}} \ge 4\left[ {\frac{1}{{5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + \frac{1}{{10ab}}} \right]\left( 1 \right)\)
Mà \(\frac{1}{{5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + \frac{1}{{10ab}} \ge \frac{4}{{5\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 10ab}} = \frac{4}{{5{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{4}{{5.1}} = \frac{4}{5}\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) ta có: \(\frac{1}{{{a^{\rm{2}}} + 4{b^{\rm{2}}}}} + \frac{1}{{{b^{\rm{2}}} + {\rm{4}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} + \frac{4}{{10ab}} \ge 4\left( {\frac{4}{5}} \right) = \frac{{16}}{5}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = \frac{1}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(h = \frac{{16}}{5}\left( m \right)\)
Khi đó \(r = h = \frac{{16}}{5}\left( m \right)\)
Suy ra \(l = \sqrt {{{\left( {\frac{{16}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{16\sqrt 2 }}{5}\).
Diện tích xung quanh của 3 mái hình nón là:
\(3.{S_{xq}} = 3.\pi rl = 3.\pi .\frac{{16}}{5}.\frac{{16\sqrt 2 }}{5} \approx 136,42\left( {{m^2}} \right)\)
Số tiền sơn là:
\(136,42.200\,000 = 27\,284\,000\) (vnđ)
Đáp án A
Đáp án : A
Danh sách bình luận