Đề bài

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3} - 3{x^2} + 6x - 1\) và \(g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 2\). Bất phương trình \(f''\left( x \right) - f'\left( x \right) + g'\left( x \right) - 8 \ge 0\) có tập nghiệm là

A. \(\left( {1;\frac{{10}}{3}} \right)\)

B. \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ {1;\frac{{10}}{3}} \right]\)

D. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)\)

Phương pháp giải

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x và kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha  - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(f'\left( x \right) = 9{x^2} - 6x + 6,f''\left( x \right) = 18x - 6,g'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x\)

Do đó, \(f''\left( x \right) - f'\left( x \right) + g'\left( x \right) - 8 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 18x - 6 - 9{x^2} + 6x - 6 + 3{x^2} + 2x - 8 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow  - 6{x^2} + 26x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 13x + 10 \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x - 10} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le \frac{{10}}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {1;\frac{{10}}{3}} \right]\)

Chọn C