Đề bài

Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp hai tại \(x = 1\) là

A. \(y''\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\)

B. \(y''\left( 1 \right) =  - \frac{1}{4}\)

C. \(y''\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\)

D. \(y''\left( 1 \right) =  - \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x và kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right)\).

+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm: \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(y' = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(y'' = {\left[ {\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]'} = \left[ {2{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right]' = - 4{\left( {x + 1} \right)^{ - 3}}\left( {x + 1} \right)' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\)

Do đó, \(y''\left( 1 \right) = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^3}}} = - \frac{1}{2}\)

Chọn D