Đề bài

Hàm số \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}\) có đạo hàm tại \(x = 1\) bằng

A. \(f'\left( 1 \right) = {e^{\sqrt 5 }}\)

B. \(f'\left( 1 \right) = 2{e^{\sqrt 5 }}\)

C. \(f'\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt 5 }}\)

D. \(f'\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{2\sqrt 5 }}\)

Phương pháp giải

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại x là \(u_x'\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại u là \(y_u'\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại x là \(y_x' = y_u'.u_x'\).

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính: \(\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(f'\left( x \right) = {\left( {{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right)'} = \left( {\sqrt {{x^2} + 4} } \right)'.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}'}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }}.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{2x.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{x.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\)

Do đó, \(f'\left( 1 \right) = \frac{{1.{e^{\sqrt {{1^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{1^2} + 4} }} = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt 5 }}\)

Chọn C