Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = \(a\sqrt 3 \), chân đường cao hình chóp là điểm H thuộc cạnh AD sao cho DH = 2AH,  góc giữa SD và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng bao nhiêu?

• A. \(\frac{{3a}}{4}\)
• B. \(\frac{a}{2}\)
• C. \(\frac{{3a}}{2}\)
• D. \(\frac{a}{4}\)

Phương pháp giải

Đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\) \( \Rightarrow MO//SB\)

\( \Rightarrow d\left( {SB,AC} \right) = d\left( {SB,\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right)\)

Ta có \(d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right).{S_{MAC}} = d\left( {M,ABCD} \right).{S_{ABC}} = \frac{1}{2}SH.\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}.2a.a.a\sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\)

\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{2.{S_{MAC}}}}\)   (1)

Ta có \(DH = 2HA = \frac{2}{3}AD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)

\(\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,HD} \right) = \widehat {SDH} = 60^\circ  \Rightarrow SH = HD.\tan 60^\circ  = 2a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SD = \sqrt {H{D^2} + S{H^2}}  = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}a\\ \Rightarrow MD = \frac{1}{2}SD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\end{array}\)

Do \(CD \bot AD,CD \bot SD \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\)

\( \Rightarrow MC = \sqrt {C{D^2} + M{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}a} \right)}^2} + {a^2}}  = \frac{{\sqrt {21} }}{3}a\)

\(MA = \sqrt {M{D^2} + A{D^2} - 2MD.AD.\cos 60^\circ }  = \frac{{\sqrt {21} }}{3}a\)

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}}  = 2a\\p = \frac{{MA + MC + AC}}{2}\\ \Rightarrow {S_{MAC}} = \sqrt {p\left( {p - MA} \right)\left( {p - MC} \right)\left( {p - AC} \right)}  = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^2}\end{array}\)

Thay (1) suy ra \( \Rightarrow d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{2.\frac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^2}}} = \frac{3}{4}a\)

Đáp án : A