Đề bài

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 6x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1 và cắt hai trục tọa độ tại \(A,{\rm{ }}B\). Tính diện tích tam giác \(OAB\) (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \(1\).

Xác định tọa độ điểm \(A,B\), độ dài \(OA,OB\).

Tính diện tích tam giác vuông \(OAB\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 6\)

\(y\left( 1 \right) = {1^3} + {3.1^2} - 6.1 + 1 =  - 1\)

\(y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 6.1 - 6 = 3\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \(1\) là:

\(\begin{array}{l}y - \left( { - 1} \right) = 3\left( {x - 1} \right)\\y = 3x - 4\end{array}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 3x - 4\) với hai trục tọa độ là:

Với \(x = 0\) thì \(y =  - 4\) nên \(A\left( {0; - 4} \right)\).

Với \(y = 0\) thì \(3x - 4 = 0\) suy ra \(x = \frac{4}{3}\) nên \(B\left( {\frac{4}{3};0} \right)\).

Tam giác \(OAB\) là tam giác vuông tại \(O\) có \(OA = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 4;OB = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {0^2}}  = \frac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.4.\frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).