Đề bài

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình \(\log _2^2x - 2\left( {m + 2} \right){\log _2}x + {m^2} + 4m \le 0\) đúng với mọi \(x \in \left[ {2;4} \right]\) (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

Ta có:  \(\log _2^2x - 2\left( {m + 2} \right){\log _2}x + {m^2} + 4m \le 0\)  (ĐK: \(x > 0\))  

Đặt \({\log _2}x = t\). Vì \(x \in \left[ {2;4} \right]\) nên \(t \in \left[ {1;2} \right].\)

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:   \({t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + {m^2} + 4m \le 0\)  \(\left( * \right)\)

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {2;4} \right]\) thì bất phương trình \(\left( * \right)\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ {1;2} \right].\)

Xét: \(f\left( t \right) = {t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + {m^2} + 4m\), có: \(\Delta  = 4{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 4m} \right) = 16 > 0\) với mọi \(m.\) 

\( \Rightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{2\left( {m + 2} \right) - \sqrt {16} }}{2} = m\\{x_2} = \frac{{2\left( {m + 2} \right) + \sqrt {16} }}{2} = m + 4\end{array} \right..\) 

Do đó, bất phương trình \(f\left( t \right) \le 0\) có nghiệm là: \(x \in \left[ {m;m + 4} \right].\)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ {1;2} \right]\) thì:

\(\left[ {1;2} \right] \subset \left[ {m;m + 4} \right] \Leftrightarrow m \le 1 < 2 \le m + 4\)\( \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 1.\) Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}.\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.