Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {A',BD,C'} \right]\).

Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) ta có thể thực hiện cách sau:

Tìm hai đường thẳng \(a,b\) lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

Khi đó góc giữa hai đường thẳng \(a,b\) chính là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha  \right)\\b \bot \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}\).

Áp dụng tính chất: Hình vuông có hai đường chéo vuông góc.

Dựa vào tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tìm góc.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có: \(AO \bot BD,A'O \bot BD\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AO,A'O\) mà \(\left( {AO,A'O} \right) = \widehat {AOA'}\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {AOA'}\).

Ta có: \(OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},OA' = \sqrt {O{A^2} + A{A^{{\rm{'}}2}}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Suy ra \({\rm{cos}}\widehat {AOA'} = \frac{{AO}}{{A'O}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

b) Vì \(A'O \bot BD,CO' \bot BD\) nên góc nhị diện \(\left[ {A',BD} \right.\),\(\left. {C'} \right]\) bằng \(\widehat {{A^{\rm{'}}}OC'}\).

Ta có \(OA' = OC' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2},A'C' = a\sqrt 2 \) nên \({\rm{cos}}\widehat {A'OC'} = \frac{{O{A^{{\rm{'}}2}} + O{C^2} - A'{C^2}}}{{2 \cdot OA' \cdot OC'}} = \frac{1}{3}\).