Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60 độ. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

b) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {BDH} \right)\).

c) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

Phương pháp giải

+ Để chứng minh hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

Cách 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng , rồi tính trực tiếp góc đó bằng \({90^0}\).

\(\left( {\widehat {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)}} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)\).

Cách 2. Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha  \right)\\a \bot \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)\).

+ Áp dụng tính chất đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BD\) mà \(BD \bot AC\), do đó \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) chứa \(BD\) nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(BD \bot SC\) mà \(SC \bot OH\), do đó \(SC \bot \left( {BDH} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) chứa \(SC\) nên \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {BDH} \right)\).

c) Ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(\Delta CHO\) và \(\Delta CAS\) đồng dạng nên \(\frac{{HO}}{{AS}} = \frac{{CO}}{{CS}}\), suy ra \(HO = \frac{{CO \cdot AS}}{{CS}} = \frac{a}{2} = \frac{{BD}}{2}\).

Do đó, tam giác \(BDH\) vuông tại \(H\), suy ra \(\widehat {BHD} = {90^ \circ }\).

Ta lại có \(BH \bot SC,DH \bot SC\) nên \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).