Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Phương pháp giải

Chung:

Để xác định góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm giao điểm \(O = a \cap \left( \alpha  \right)\).

- Dựng hình chiếu \(A'\) của một điểm \(A \in a\) xuống \(\left( \alpha  \right)\).

- Góc \(\widehat {AOA'} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng \(a\) và \(\left( \alpha  \right)\).

Cụ thể:

Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\).

Xác định hình chiếu của \(AB\) trên \(\left( {BCD} \right)\) là \(BH\).

Tính góc \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\) rồi kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\), ta có \(BH\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(BH\), mà \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\).

Vì \(AB = AC = AD\)  nên \(HB = HC = HD\), hay \(H\)  là tâm của tam giác\(BCD\), suy ra\(BH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Từ đó ta tính được:  \(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

 

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).