Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) \(BC \bot \left( {SAH} \right)\) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy.

b) \(SB \bot \left( {CHK} \right)\) và \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).

Phương pháp giải

a) Chỉ ra  \(BC \bot SA,BC \bot AH\) nên \(BC \bot \left( {SAH} \right)\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).

Chứng minh \(BC \bot AH,BC \bot SM\) suy ra \(S,K,M\) thẳng hàng.

Do đó, \(SK,AH,BC\) đồng quy tại \(M\).

b) Chỉ ra \(CH \bot SB\), \(SB \bot CK\) rồi suy ra  \(SB \bot \left( {CHK} \right)\).

Từ đó ta có \(SB \bot HK\), tương tự, ta chứng minh được \(SC \bot \left( {BHK} \right)\), suy ra \(SC \bot HK\). Do đó \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Chỉ ra \(BC \bot SA,BC \bot AH\) nên \(BC \bot \left( {SAH} \right)\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\)\(CH \bot AB\).

Ta có: \(BC \bot \left( {SAM} \right)\), suy ra \(BC \bot SM\), mà \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\) nên \(SM\) đi qua \(K\).

Do đó, \(SK,AH,BC\) đồng quy tại \(M\).

b)

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot CH\), mà , suy ra \(CH \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó \(CH \bot SB\), lại có \(SB \bot CK\) nên \(SB \bot \left( {CHK} \right)\).

 

Từ đó ta có \(SB \bot HK\), tương tự, ta chứng minh được \(SC \bot \left( {BHK} \right)\), suy ra \(SC \bot HK\). Do đó \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).