Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} } \right).\)

A. \(P =  - 1.\)     

B. \(P = 3{a^2}.\)   

C. \(P =  - 3{a^2}.\)

D. \(P = 2{a^2}.\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ giả thiết suy ra \(AC = a\sqrt 2 \)

Ta có \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  - {\overrightarrow {AC} ^2}\)

\( =  - CA.CD.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} =  - a\sqrt 2 .a.\cos {45^ \circ } - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} =  - 3{a^2}\)

Chọn C