Đề bài

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với \(A\left( {1;{{ }}1} \right),{{ }}B\left( { - 1;{{ }}1} \right),{{ }}C\left( { - 1; - 1} \right),{{ }}D\left( {1; - 1} \right)\). Phép quay ngược chiều \(45^\circ \) tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A', B', C', D'. Tính diện tích tứ giác A'B'C'D'.

• A. 6 đơn vị diện tích
• B. 8 đơn vị diện tích
• C. 4 đơn vị diện tích
• D. 5,5 đơn vị diện tích

Phương pháp giải

Phép quay thuận chiều \(\alpha ^\circ \) (0° < \(\alpha ^\circ \) < 360°) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo \(\alpha ^\circ \).

Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều \(\alpha ^\circ \) tâm O.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi H là hình chiếu của A trên Oy.

Ta có A(1; 1) nên suy ra AH = OH = 1.

Do đó ∆OAH vuông cân tại H nên \(\widehat {AOH} = {45^o}\) .

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có: OA² = OH² + AH² (định lí Pythagore)

Suy ra OA = \(\sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).

Tương tự, ta sẽ có OA = OB = OC = OD = \(\sqrt 2 \).

Mặt khác, do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O là tâm của hình vuông.

Do đó, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến điểm A thành các điểm A’ nằm trên tia Oy sao cho OA’ = OA = \(\sqrt 2 \), tức là (0; \(\sqrt 2 \)).

Tương tự, ta chứng minh được, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm \(A'(0;\sqrt 2 ),B'\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),C'(0; - \sqrt 2 ),D\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\).

Suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông với hai đường chéo là A’C’ và B’D’, nên diện tích tứ giác A’B’C’D’ là: \(\frac{1}{2}.A'C'.B'D' = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2\sqrt 2 = 4\) (đơn vị diện tích).

Đáp án C

Đáp án : C