Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat A = {120^o}\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;\,\,3\,{\rm{cm}}} \right)\). Khi đó diện tích tam giác \(ABC\) là

• A. \(\frac{{9\sqrt 3 }}{4}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
• B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
• C. \({\rm{3}}\sqrt 3 \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
• D. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Phương pháp giải

Kẻ \(AH \bot BC\), khi đó AH là đường trung trực của BC và là phân giác của góc BAC nên suy ra tam giác AOC đều, ta tính được HC và HA theo R.

Từ đó sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kẻ \(AH \bot BC\).

Khi đó \(AH\) là đường trung trực của \(BC\) (vì tam giác ABC cân tại A) nên \(AH\) đi qua \(O\) (tính đối xứng của đường tròn).

AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC, do đó \(\widehat {HAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \).

Vì tam giác AOC có OA = OC và \(\widehat {OAC} = 60^\circ \) nên \(\Delta AOC\) đều, do đó \(HC = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\) và \(HA = \frac{R}{2}\).

Vì vậy

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = HC.HA = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\frac{R}{2}\\ = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\end{array}\)

Đáp án A

Đáp án : A