Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). H là trực tâm của tam giác \(ABC\). Vẽ \(OK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\). Tỉ số \(\frac{{OK}}{{AH}}\) là:

• A. 2.
• B. 1.
• C. \(\frac{1}{2}\).
• D. \(\frac{1}{4}\).

Phương pháp giải

Kẻ đường kính \(AD\).

Chứng minh K là trung điểm của BC.

Chứng minh BHCD là hình bình hành suy ra K là trung điểm của HK.

Sử dụng tính chất của đường trung bình suy ra tỉ số \(\frac{{OK}}{{AH}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kẻ đường kính \(AD\)

Xét tam giác OBC cân tại O (OB = OC = R).

Mà \(OK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\) nên OK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác OBC.

Do đó K là trung điểm của BC.

Vì \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) nên \(BD \bot AB\,;\,DC \bot AC\)

Mà \(CH \bot AB\,\,;\,\,BH \bot AC\) (do H là trực tâm)

Suy ra \(BD\,{\rm{//}}\,CH\,\,;\,\,DC\,{\rm{//}}\,BH\)

Do đó \(BHCD\) là hình bình hành nên BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà K là trung điểm của BC nên K là trung điểm của DH.

Xét tam giác ADH có O là trung điểm của AD, K là trung điểm của DH nên \(OK\) là đường trung bình của \(\Delta ADH\).

Do đó \(\frac{{OK}}{{AH}} = \frac{1}{2}\).

Đáp án C

Đáp án : C