Cho tam giác đều \(ABC\) nằm trên đường tròn \((O)\). Trên cung $\overset\frown{BC}$ không chứa \(A\) ta lấy điểm \(P\) bất kỳ (\(P\) khác \(B\) và \(P\) khác \(C\)). Các đoạn \(PA\) và \(BC\) cắt nhau tại \(Q\) (Như hình vẽ)
a) Trong \((O)\) các góc nội tiếp chắn các cung \(\overset\frown{AB};\,\overset\frown{AC};\,\overset\frown{BC}\) đều bằng nhau và bằng \({60^o}\).
b) \(\widehat {BOP} = 120^\circ \).
c) Nếu \(D\) là một điểm trên đoạn \(PA\) sao cho \(PD = PB\) thì \(\Delta PDB\) đều.
d) Giả sử \(PA = PB + PC\) thì \(\frac{1}{{PQ}} = \frac{1}{{PB}} + \frac{1}{{PC}}\).
a) Trong \((O)\) các góc nội tiếp chắn các cung \(\overset\frown{AB};\,\overset\frown{AC};\,\overset\frown{BC}\) đều bằng nhau và bằng \({60^o}\).
b) \(\widehat {BOP} = 120^\circ \).
c) Nếu \(D\) là một điểm trên đoạn \(PA\) sao cho \(PD = PB\) thì \(\Delta PDB\) đều.
d) Giả sử \(PA = PB + PC\) thì \(\frac{1}{{PQ}} = \frac{1}{{PB}} + \frac{1}{{PC}}\).
a) Trong cùng một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Sử dụng mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm.
c) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
d) Sử dụng kiến thức góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau để chứng minh các góc bằng nhau, suy ra $\Delta PBQ\backsim \Delta PAC$.
Sử dụng các tỉ số tương ứng để chứng minh.
a) Xét \((O)\)có \(\widehat {BAC};\,\widehat {ABC};\,\widehat {ACB}\) là các góc nội tiếp chắn lần lượt các cung \(\overset\frown{AB};\,\overset\frown{AC};\,\overset\frown{BC}\).
Mà \(\Delta ABC\) đều nên \(\widehat {BAC} = \,\widehat {ABC} = \,\widehat {ACB} = 60^\circ \).
Do đó sđ\(\overset\frown{AB}\) = sđ\(\overset\frown{AC}\) = sđ\(\overset\frown{BC}=60{}^\circ \).
Chọn Đúng
b) Vì $P\in \overset\frown{BC}$ nên sđ\(\overset\frown{BC}\)= sđ\(\overset\frown{BP}\)+ sđ\(\overset\frown{PC}\), do đó sđ\(\overset\frown{BP}\) < sđ\(\overset\frown{BC}\).
Vì $\widehat{BOP};\,\widehat{BOC}$ là 2 góc ở tâm chắn \(\overset\frown{BP}\) và \(\overset\frown{BC}\) nên $\widehat{BOP}<\widehat{BOC}$.
Góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ cùng chắn \(\overset\frown{BC}\) nên $\widehat{BOC}=2.\widehat{BAC}=2.60{}^\circ =120{}^\circ $.
Suy ra $\widehat{BOP}<120{}^\circ $.
Chọn Sai
c) Ta có $\Delta PBD$ cân tại $P$ (vì $PD=PB$) .
Mặt khác, $\widehat{BPD}=\widehat{BPA}=\widehat{BCA}={{60}^{0}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{AB}$ của đường tròn $\left( O \right)$).
Vậy $\Delta PDB$ đều.
Chọn Đúng
d) Vì $\widehat{BPQ}={{60}^{0}}$, $\widehat{APC}=\widehat{ABC}={{60}^{0}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset\frown{AC}$) nên $\widehat{BPQ}=\widehat{APC}$
Xét $\Delta PBQ$ và $\Delta PAC$
$\widehat{BPQ}=\widehat{APC}$
$\widehat{PBQ}=\widehat{PAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{PC}$).
Từ đó $\Delta PBQ\backsim \Delta PAC$ (g.g) suy ra $\frac{PB}{PA}=\frac{PQ}{PC}$,
hay $PQ.PA=PB.PC$.
Vì $PA=PB+PC$ nên $PQ\left( PB+PC \right)=PB.PC$
Do đó $PQ.PB+PQ.PC=PB.PC$.
Chia cả 2 vế cho $PB.PQ.PC$ ta được $\frac{1}{PQ}=\frac{1}{PB}+\frac{1}{PC}$
Chọn Đúng
Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
Các bài tập cùng chuyên đề
Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
b) Góc nội tiếp nhỏ hơn \({90^o}\) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9).
a) Biết rằng \(\widehat {AOC} = {60^o},\widehat {BOD} = {80^o}\). Tính số đo của góc AID.
b) Chứng minh rằng \(IA.IB = IC.ID\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm S nằm ngoài (O). Cho hai đường thẳng SA, SB lần lượt cắt (O) tại M (khác A), N (khác B). Gọi P là giao điểm của BM và AN (H.9.10). Chứng minh rằng SP vuông góc với AB.
Trên sân bóng, khi trái bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng \({36^o}\) và trái bóng cách mỗi cọc gôn 11,6m (H.9.11). Hỏi khi trái bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền 11,6m thì góc sút bằng bao nhiêu?
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Góc nội tiếp có số đo bằng số đo cung bị chắn.
B. Góc có hai cạnh chứa các dây cung của đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.
C. Góc nội tiếp có số đo bằng một nửa số đo cung bị chắn.
D. Góc có đỉnh nằm trên đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.
Cho tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O) và AH là đường cao. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh rằng
a) AC vuông góc với DC
b) \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\)
c) AB. AC = AH. AD
Quan sát Hình 62, hãy cho biết:
a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai trong bốn điểm \(A,B,C,D\);
b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm.
Trong Hình 63, cho biết \(AB = OA\).
a) Tính số đo góc \(AOB\).
b) Tính số đo cung nhỏ \(AB\) và cung lớn \(AB\) của \(\left( O \right)\).
c) Tính số đo góc \(MIN\).
d) Tính số đo cung nhỏ \(MN\) và cung lớn \(MN\) của \(\left( I \right)\).
e) Tính số đo góc \(MKN\).
Trong Hình 92, cho các điểm \(A,B,C,D,E\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).
a) Số đo góc \(BOC\) là:
A. \(\alpha \)
B. \(2\alpha \)
C. \(180^\circ - \alpha \)
B. \(180^\circ - 2\alpha \)
b) Số đo góc \(BDC\) là:
A. \(\alpha \)
B. \(\frac{\alpha }{2}\)
C. \(180^\circ - \alpha \)
D. \(180^\circ - \frac{\alpha }{2}\)
c) Số đo góc \(BEC\) là:
A. \(\alpha \)
B. \(2\alpha \)
C. \(180^\circ - \alpha \)
D. \(360^\circ - \alpha \)
Tính số đo các góc ANB, AOB và cung lớn AB trong Hình 5.68.
Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng \(AD + BC = AB + CD\).
