Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có 6% những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
-
A.
0,3
-
B.
0,03
-
C.
0,04
-
D.
0,4
Áp dụng công thức Bayes: \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )}}\).
A: “Người được chọn mắc bệnh X”. P(A) = 0,002.
\(\overline A \): “Người được chọn không mắc bệnh X”. \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,002 = 0,998\).
Theo giả thiết ta có P(B|A) = 1, \(P(B|\overline A ) = 0,06\).
Theo công thức bayes, ta có \(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}}\)
\( = \frac{{0,002.1}}{{0,002.1 + 0,998.0,06}} \approx 0,03\).
Đáp án : B
1. Biến cố đối
Biến cố đối lập \(\overline A\) (đọc là "A ngang") của biến cố A là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Tổng xác suất của một biến cố và biến cố đối lập của nó luôn bằng 1:
\(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1\).
Từ đó suy ra:
\(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)\).
Quy tắc này rất hữu ích khi việc tính trực tiếp xác suất của biến cố A phức tạp hơn so với việc tính xác suất của biến cố đối lập \(\overline A\).
2. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.
3. Công thức Bayes
Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$.
Danh sách bình luận