Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua BD và song song với SA, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt SC tại K. Biết SK = mKC. Tính giá trị biểu thức \({m^2} + 2\).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.

Sử dụng định lý Thales.

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua BD, cắt AC tại K nên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cũng là mặt phẳng (BKD).

Giả sử AC giao BD tại O. Khi đó O là trung điểm của AC, hay \(\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

Vì \(O \in BD \subset (BKD)\) nên \(OK \subset (BKD)\).

Vì SA//(BKD) nên SA không cắt OK (1)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC)\\K \in SC \subset (SAC)\end{array} \right.\) suy ra \(OK \subset (SAC)\) (2)

Lại có \(SA \subset (SAC)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra SA//OK.

Xét tam giác SAC có OK//SA: \(\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{CK}}{{SC}} = \frac{1}{2}\) (định lí Thales).

Suy ra SK = KC, do đó m = 1.

Vậy \({m^2} + 2 = {1^2} + 2 = 3\).