Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2023;{u_2} = 2024\\2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}}\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\).
a) Dãy \(\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\) là dãy không đổi.
b) Biểu thị \({u_n}\) qua \({u_{n - 1}}\) ta được \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\).
c) \({u_3} = 2025\).
d) \({u_{2024}} = 4044\).
a) Dãy \(\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\) là dãy không đổi.
b) Biểu thị \({u_n}\) qua \({u_{n - 1}}\) ta được \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\).
c) \({u_3} = 2025\).
d) \({u_{2024}} = 4044\).
Chứng minh dãy trên là cấp số cộng thông qua tính chất của cấp số cộng rồi sử dụng công thức số hạng tổng quát.
a) Đúng. Ta có \(2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}} \Leftrightarrow {u_n} = 2{u_{n + 1}} - {u_{n + 2}}\).
Từ đó, thay n - 1 vào n ta được \({u_{n - 1}} = 2{u_{n - 1 + 1}} - {u_{n - 1 + 2}} \Leftrightarrow {u_{n - 1}} = 2{u_n} - {u_{n + 1}} \Leftrightarrow 2{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}\).
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng, tức \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\).
Do đó \({v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} = d\) không đổi.
b) Đúng. \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = {u_2} - {u_1} = 2024 - 2023 = 1\).
Do đó \({u_n} = {u_{n - 1}} + d = {u_{n - 1}} + 1\).
c) Đúng. \({u_3} = {u_2} + d = 2024 + 1 = 2025\).
d) Sai. \({u_{2024}} = {u_1} + (2024 - 1).d = 2023 + (2024 - 1).1 = 4046\).
Danh sách bình luận