Đề bài

Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N. Để IJNM là hình thoi thì AC = kAM và AB = mCD. Khi đó giá trị của k + m bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường trung bình, định lí Thales.

Vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ//CD và \(IJ = \frac{1}{2}CD\).

Để IJNM là hình thoi thì IJNM phải là hình bình hành và có NM = MI.

Để IJNM là hình bình hành thì cần MN//IJ và MN = IJ, hay MN//CD và \(MN = \frac{1}{2}CD\).

Khi đó, MN là đường trung bình tam giác ACD, tức M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD.

Do đó AC = 2AM nên k = 2.

Ta cũng có MI là đường trung bình tam giác ABC nên \(MI = \frac{1}{2}AB\).

Để MN = MI thì AB = CD, suy ra m = 1.

Vậy k + m = 2 + 1 = 3.