Đề bài

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x  - 1}}{{{x^2} - 1}}\\{m^2}x\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne 1\\x = 1\end{array}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Hàm số liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = f({x_0})\).

Ta có:

\(f(1) = {m^2}.1 = {m^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt 1  + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)}} = \frac{1}{4}\).

Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{2}\).

Vậy không có giá trị nguyên m nào để f(x) liên tục tại \({x_0} = 1\).