Đề bài

Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 nghìn đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu 20 m để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\).

Số tiền khoan mỗi mét lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 100\) và d = 30 (nghìn đồng).

Tổng số tiền cần để khoan 20m giếng là:

\({S_{20}} = \frac{{20.\left[ {2.100 + (20 - 1).30} \right]}}{2} = 7700\).

Vậy số tiền cần thanh toán là 7700 nghìn đồng.

Mở rộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai d.

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó tổng n số hạng đầu được tính theo công thức

\({S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\)

hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\).