Đề bài

Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. P là điểm thuộc CD sao cho PD = 2PC. Gọi Q là giao diểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{AQ}}{{AD}}\) (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường trung bình, định lí Thales, tính chất các giao tuyến của ba mặt phẳng cắt nhau.

Vì PD = 2PC nên \(\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3}\).

Xét trong mặt phẳng (BCD) có NP không song song với BD do \(\frac{{CN}}{{CB}} \ne \frac{{CP}}{{CD}}\) \(\left( {\frac{1}{2} \ne \frac{1}{3}} \right)\).

Giả sử NP cắt BD tại H. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}H \in NP \subset (MNP)\\H \in BD \subset (ABD)\end{array} \right.\) suy ra \(H \in (MNP) \cap (ABD)\) (1)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\H \in AB \subset (ABD)\end{array} \right.\) suy ra \(M \in (MNP) \cap (ABD)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MH là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).

Xét trong mặt phẳng (ABD), giả sử MH cắt AD tại Q’.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}Q' \in MH \subset (MNP)\\Q' \in AD\end{array} \right.\), suy ra Q’ là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP).

Do đó Q’ trùng Q.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình, suy ra MN//AC.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (ACD) = AC\\(ABC) \cap (MNP) = MN\\(ACD) \cap (MNP) = PQ\\MN//AC\end{array} \right.\) suy ra PQ//MN//AC.

Xét tam giác ACD có PQ//AC: \(\frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).