Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD, AC = 6, BD = 8; tam giác SBD là tam giác đều. Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AI = x (0 < x < 3), (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (SBD). Diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD bằng \(\frac{{a{x^2}\sqrt 3 }}{b}\)​​. Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất giao tuyến, hệ quả định lí Thales, công thức tính diện tích tam giác đều khi biết độ dài cạnh.

Vì (P)//(SBD) suy ra BD//(P) và SB//(P).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in (P) \cap (ABCD)\\BD \subset (ABCD)\\BD//(P)\end{array} \right.\) suy ra giao tuyến của (P) và (ABCD) là đường thẳng qua I song song với BD. Giao tuyến này cắt AB tại M, cắt AD tại N.

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P) \cap (SAB)\\SB \subset (SAB)\\SB//(P)\end{array} \right.\) suy ra giao tuyến của (P) và (SAB) là đường thẳng qua M song song với SB.

Giao tuyến này cắt SA tại K.

Thiết diện cần tìm là tam giác MNK.

Hai tam giác KMN và SBD có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng. Mà tam giác SBD đều nên tam giác KMN đều.

Xét tam giác AOD có IN//DO: \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN}}{{DO}}\) (hệ quả định lí Thales).

Xét tam giác AOB có IM//BO: \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IM}}{{BO}}\) (hệ quả định lí Thales).

Suy ra \(\frac{{IN}}{{DO}} = \frac{{IM}}{{BO}}\). Do đó \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN + IM}}{{DO + BO}}\) hay \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{MN}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{{AC}}{2}}} = \frac{{MN}}{{BD}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{{MN}}{8} \Leftrightarrow MN = \frac{{8x}}{3}\).

Diện tích tam giác đều KMN là \(S = \frac{{M{N^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {\frac{{8x}}{3}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16{x^2}\sqrt 3 }}{9}\).

Suy ra a = 16, b = 9.

Vậy P = a + b = 16 + 9 = 25.