Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\\ax\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne 1\\x = 1\end{array}\). Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Đáp án:
Hàm số liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Ta có: \(\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2 + 2 - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2}}{{x - 1}} + \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{x + 7 - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4} \right)}} + \frac{{4 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\)
\( = \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} + \frac{{3 - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\)
\( = \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3x + 1} }}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3x + 1} }}\)
\( = \frac{1}{{\sqrt {1 + 7} + \sqrt[2]{{1 + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3.1 + 1} }} \approx - 0,7\).
Mà \(f(1) = a.1 = a\).
Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\), suy ra \(a \approx - 0,7\).
Danh sách bình luận