Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD.
a) Gọi \(I = CD \cap (MNP)\). Ba điểm I, N, P thẳng hàng.
b) MN//(ABD).
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.
d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
a) Gọi \(I = CD \cap (MNP)\). Ba điểm I, N, P thẳng hàng.
b) MN//(ABD).
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.
d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.
a) Sai. Xét trong mặt phẳng (BCD):
Vì NP không song song với CD nên giả sử NP giao CD tại O.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in CD\\O \in NP \subset (MNP)\end{array} \right.\) nên \(O = CD \cap (MNP)\).
Vậy \(O \equiv I\). Vì \(O \in NP\) suy ra I, N, P thẳng hàng.
b) Đúng. Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB.
c) Đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\(MNP) \cap (ABD) = \{ P\} \end{array} \right.\) suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABD) là đường thẳng qua P và song song với AB, MN.
Theo giả thiết, PQ//AB nên PQ chính là giao tuyến cần tìm.
d) Sai. Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}AB\) (1).
Theo giả thiết, BP = 2PD nên suy ra \(\frac{{DP}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác ABD có PQ//AB:
\(\frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{DP}}{{DB}} = \frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả định lý Thales).
Suy ra \(PQ = \frac{1}{3}AB\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(MN \ne PQ\).
Vậy MNPQ không phải hình bình hành.
Danh sách bình luận