Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\). Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AD\). Gọi \(M, N, I, K\) theo thứ tự là các điểm thuộc các cạnh \(BD, BC, EC, ED\) sao cho \(MN\parallel CD\), \(MN = \frac{1}{2}CD\); \(KI\parallel CD\), \(KI = \frac{1}{2}CD\); \(NI\parallel BE\), \(NI = \frac{1}{2}BE\); \(MK\parallel BE\), \(MK = \frac{1}{2}BE\). Tứ giác \(MNIK\) là hình gì?

• A. Hình bình hành.
• B. Hình chữ nhật.
• C. Hình vuông.
• D. Hình thoi.

Phương pháp giải

Chứng minh \(\Delta ACD = \Delta ABE\),

Từ \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc tương ứng), chứng minh \(CD \bot BE\)

Từ suy ra: CD = BE (hai cạnh tương ứng) và \(MN\parallel CD\), \(MN = \frac{1}{2}CD\); \(KI\parallel CD\), \(KI = \frac{1}{2}CD\); \(NI\parallel BE\), \(NI = \frac{1}{2}BE\); \(MK\parallel BE\), \(MK = \frac{1}{2}BE\) chứng minh \(MNIK\) là hình thoi.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông: hình thoi có một góc vuông là hình vuông

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta ABE\), ta có:

\(AC = AB\) ( \( \Delta ABC\) vuông cân tại \(A\))

\(\widehat {DAC} = \widehat {BAE} = {90^o}\)

\(AD = AE\) (gt)

Suy ra \(\Delta ACD = \Delta ABE\) (c.g.c)

Suy ra: \(CD = BE\) (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc tương ứng)

Do \(\widehat {{B_1}}\) phụ với \(\widehat {BEC}\) nên \(\widehat {{C_1}}\) phụ với \(\widehat {BEC}\) hay \(CD \bot BE\)

Theo đề bài, ta có:

\(MN\parallel CD\), \(MN = \frac{1}{2}CD\)

\(KI\parallel CD\), \(KI = \frac{1}{2}CD\)

\(NI\parallel BE\), \(NI = \frac{1}{2}BE\)

\(MK\parallel BE\), \(MK = \frac{1}{2}BE\)

Từ đó suy ra \(MN = NI = KI = MK\) và \(MN \bot MK\)

Do đó tứ giác \(MNIK\) là hình vuông.

Đáp án : C