Đề bài

Trong các biến ngẫu nhiên rời rạc sau, biến ngẫu nhiên rời rạc nào có phân bố Bernoulli? Xác định giá trị của tham số \(p\) và tính độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli đó.

a) \(X\) là số mặt 6 chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất.

b) Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biến ngẫu nhiên rời rạc \(Y\) nhận giá trị bằng 1 nếu xuất hiện mặt 6 chấm, bằng 0 nếu không xuất hiện mặt nào 6 chấm.

c) Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi \(Z\) là số dư khi chia số chấm xuất hiện cho 2.

d) Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi \(T\) là số dư khi chia số chấm xuất hiện cho 3.

Phương pháp giải

‒ Sử dụng khái niệm: Biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) được gọi là có phân bố Bernoulli với tham số \(p \in \left( {0;1} \right)\), kí hiệu là \(X \sim B{\rm{er}}\left( p \right)\), nếu \(X\) chỉ nhận hai giá trị là 0 và 1, và \(P\left( {X = 1} \right) = p;\)\(P\left( {X = 0} \right) = 1 - p\).

‒ Nếu \(X \sim B{\rm{er}}\left( p \right)\) thì \(E\left( X \right) = p\) và \(V\left( X \right) = p\left( {1 - p} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(X\) là phân bố Bernoulli vì nó nhận hai giá trị bằng 0 (nếu xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5 chấm) và 1 (nếu xuất hiện mặt 6 chấm).

Ta có: \(P\left( {X = 1} \right) = \frac{1}{6}\). Vậy \(p = \frac{1}{6}\).

Phương sai của \(X\): \(V\left( X \right) = p\left( {1 - p} \right) = \frac{1}{6}\left( {1 - \frac{1}{6}} \right) = \frac{5}{{36}}\).

Độ lệch chuẩn của \(X\): \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {E\left( X \right)}  = \sqrt {\frac{5}{{36}}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{6} \approx 0,373\).

b) \(Y\) là phân bố Bernoulli vì nó nhận hai giá trị bằng 0 (nếu không xuất hiện mặt nào 6 chấm) và 1 (nếu xuất hiện mặt 6 chấm).

Ta có: \(P\left( {Y = 1} \right) = \frac{{11}}{{36}}\). Vậy \(p = \frac{{11}}{{36}}\).

Phương sai của \(X\): \(V\left( Y \right) = p\left( {1 - p} \right) = \frac{{11}}{{36}}\left( {1 - \frac{{11}}{{36}}} \right) = \frac{{275}}{{1296}}\).

Độ lệch chuẩn của \(X\): \(\sigma \left( Y \right) = \sqrt {E\left( Y \right)}  = \sqrt {\frac{{275}}{{1296}}}  = \frac{{5\sqrt {11} }}{{36}} \approx 0,461\).

c) \(Z\) là phân bố Bernoulli vì nó nhận hai giá trị bằng 0 (nếu xuất hiện mặt 2, 4, 6 chấm) và 1 (nếu xuất hiện mặt 1, 3, 5 chấm).

Ta có: \(P\left( {Z = 1} \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Vậy \(p = \frac{1}{2}\).

Phương sai của \(X\): \(V\left( Z \right) = p\left( {1 - p} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\).

Độ lệch chuẩn của \(X\): \(\sigma \left( Z \right) = \sqrt {E\left( Z \right)}  = \sqrt {\frac{1}{4}}  = \frac{1}{2} = 0,5\).

d) \(T\) nhận ba giá trị bằng 0 (nếu xuất hiện mặt 3, 6 chấm), 1 (nếu xuất hiện mặt 1, 4 chấm) và 3 (nếu xuất hiện mặt 2, 5 chấm). Vậy \(T\) không là phân bố Bernoulli.