Đề bài

Giả sử một loại hàng hóa có hàm cầu được mô hình hóa bởi \(p = 100--0,5x\) và hàm chi phí được mô hình hóa bởi \(C = 40x + 37,5\), trong đó p (nghìn đồng) là giá của một đơn vị hàng hóa đó.

a) Mức giá nào sẽ mang lại lợi nhuận lớn nhất?

b) Khi lợi nhuận là lớn nhất, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Hàm doanh thu của x đơn vị hàng hóa là: \(R(x) = xp(x) = 100x - 0,5{x^2}\)

Hàm lợi nhuận là:\(P\left( x \right) = R\left( x \right)--C\left( x \right) = 100x - 0,5{x^2} - 40x - 37,5 =  - 0,5{x^2} + 60x - 37,5\)

Ta có \(P'\left( x \right) =  - x + 60\)

\(P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 60\)

Khi đó P(60) = 1 762,5 (nghìn đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi x = 60.

Khi đó, p = 100 – 0,5.60 = 70 (nghìn đồng) thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

b) Chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là \(c(x) = \frac{{C(x)}}{x} = \frac{{40x + 37,5}}{x}.\)

Khi lợi nhuận là lớn nhất thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là: \(c(60) = 40,625\) (nghìn đồng).