Đề bài

Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc. Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.

a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết trong bài toán trên.

b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a).

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

Phương pháp giải

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Kí hiệu v₁ là vận tốc chèo thuyền (v₁ = 3 km/h) và v₂ là vận tốc đi bộ (v₂ = 5 km/h).

Kí hiệu S₁, v₁ là quãng đường và vận tốc chèo thuyền của người đánh cá khi chèo thuyền.

Kí hiệu S₂, v₂ là quãng đường và vận tốc của người đánh cá khi đi bộ dọc bờ biển.

Ta có: v₁ = 3 km/h, v₂ = 5 km/h.

Đặt \(PQ{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) (km), \(x \in \left[ {0;6} \right]\).

b) Ta có: \({S_2} = BQ = 6 - x{\rm{ }}(km)\)

Vì tam giác APQ vuông tại P nên \({S_1} = AQ = \sqrt {A{P^2} + P{Q^2}}  = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết

\(t = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = \frac{{28}}{{15}}\) (giờ)

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến Q rồi đi bộ về nhà thì hết

\(t = {t_{AQ}} + {t_{QB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{3} + \frac{{6 - x}}{5}\) (giờ)