Đề bài

Cho \(\alpha ,\beta \) lần lượt là góc giữa hai véc tơ pháp tuyến bất kì và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Chọn nhận định đúng:

• A. \(\alpha  = \beta \)
• B. \(\alpha  = {180^0} - \beta \)
• C. \(\sin \alpha  = \sin \beta \)
• D. \(\cos \alpha  = \cos \beta \)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức cô sin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $\cos \beta  = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$ $ = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Do đó \(0 \le \beta  \le {90^0}\), trong khi \(0 \le \alpha  \le {180^0}\) nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.

Ngoài ra, khi \(\alpha = \beta \) hay \(\alpha =180^0 -  \beta \) thì ta đều có \(\sin \alpha  = \sin \beta \) nên C đúng.

D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.

Đáp án : C

Chú ý

Nhiều em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì không nắm rõ các khái niệm góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai véc tơ.