Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với ba trung tuyến \(AI, BD, CE\) đồng quy tại \(G\) sao cho \(ED\parallel BC;\,ED = \frac{1}{2}BC\). \(M\) và \(N\) lần lượt là các điểm của \(GC\) và \(GB\) và \(MN\parallel BC;\,MN = \frac{1}{2}BC\). Để \(MNED\) là hình chữ nhật thì tam giác \(ABC\) cần có điều kiện:

• A. \(\Delta {ABC}\) đều
• B. \(\Delta {ABC}\) vuông tại \(A\)
• C. \(\Delta {ABC}\) cân tại \(A\)
• D. \(\Delta {ABC}\) vuông cân tại \(A\)

Phương pháp giải

Chứng minh tứ giác \(MNED\) là hình bình hành
Để hình bình hành \(MNED\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {ENM} = {90^o}\) hay \(EN \bot MN\)
Lại có \(EN\parallel AI\) suy ra \(AI \bot BC\)
Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét tam giác \(ABC\): \(ED\parallel BC;\,ED = \frac{1}{2}BC\)

Xét tam giác \(GBC\) có: \(MN\parallel BC;\,MN = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(MN\parallel ED;\,MN = ED\) nên tứ giác \(MNED\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Xét tam giác \(ABC\) có: \(EN\parallel AG\) hay \(EN\parallel AI\)

Để hình bình hành \(MNED\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {ENM} = {90^o}\)

Suy ra \(EN \bot MN\)

Mà \(MN\parallel BC\) (gt) nên \(EN \bot BC\)

Lại có \(EN\parallel AI\) suy ra \(AI \bot BC\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(AI\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).

Đáp án : C