Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\); \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AF\), \(EC\), \(BF\), \(DE\) và \(FN = \frac{1}{2}DE;\,FN\parallel DE\); \(EM = \frac{1}{2}BF;\,EM\parallel BF\). Khi đó \(MNPQ\) là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

• A. Hình bình hành
• B. Hình thang vuông
• C. Hình thang cân
• D. Hình thang

Phương pháp giải

Gọi \(O\) là giao của \(QN\) và \(EF\).

Chứng minh \(O\) là giao điểm của \(QN\)

Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(PM\)

Từ đó, ta suy ra được \(QMNP\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Nối \(EF;\,EP;\,FQ;\,EM;\,PM;\,QN\). Gọi \(O\) là giao của \(QN\) và \(EF\).

Xét tam giác \(CED\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}FN = \frac{1}{2}DE = EQ\\FN\parallel ED \Rightarrow FN\parallel EQ\end{array} \right.\)

Suy ra \(NFQE\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(QN\) và \(EF\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hay \(O\) là giao điểm của \(QN\) (1)

Xét tam giác \(ABF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EM = \frac{1}{2}BF = PF\\EM\parallel BF \Rightarrow EM\parallel PF\end{array} \right.\)

Suy ra \(EMFB\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(PM\) và \(EF\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(PM\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác \(QMNP\) có hai đường chéo \(QN, PM\) giao nhau tại trung điểm \(O\) mỗi đường nên \(QMNP\) là hình bình hành.

Đáp án : A