Cho tam giác \(ABC\) và \(H\) là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\), vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau ở \(D\). Biết \(\widehat {BAC} = {50^o}\), số đo góc \(BDC\) là:
-
A.
\(50^{o}\);
-
B.
\(100^{o}\);
-
C.
\(150^{o}\);
-
D.
\(130^{o}\);
Chứng minh tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành)
Do tổng các góc trong tứ giác bằng \(360^{o}\) nên ta tính được số đo góc \(IHK\) trong tứ gác \(AIHK\)
Vì tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {BDC} = \widehat {BHC}\) (Hình bình hành có các cặp góc đối bằng nhau)
Gọi \(BK, CI\) là các đường cao của tam giác \(ABC\).
Khi đó \(BK \bot AC;\,CI \bot AB\) hay \(BH \bot AC;\,CH \bot AB\) (Vì \(H\) là trực tâm).
Lại có: \(CD \bot AC;\,BD \bot AB\) (giả thiết)
Nên: \(BH\parallel CD\) (cùng vuông với \(AC\)) và \(CH\parallel BD\) (cùng vuông với \(AB\))
Suy ra tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (dhnb)
Xét tứ giác \(AIHK\) có:
\(\widehat {IAK} + \widehat {AKH} + \widehat {KHI} + \widehat {HIA} = {360^o}\) (định lý tổng các góc của tứ giác)
Suy ra \(\widehat {IHK} = {360^o} - {90^o} - {90^o} - {50^o} = {130^o}\)
Suy ra \(\widehat {IHK} = \widehat {BHC} = {130^o}\) (hai góc đối đỉnh)
Vì tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {BDC} = \widehat {BHC} = {130^o}\)
Vậy \(\widehat {BDC} = {130^o}\)
Đáp án : D
Danh sách bình luận