Đề bài

Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A. Với mỗi sản phẩm A bán được, cửa hàng thu được 20 nghìn đồng lợi nhuận. Qua khảo sát, người ta thấy rằng với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A. Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm này? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Phương pháp giải

• Giả sử cửa hàng giảm giá \(x\) nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A, biểu thị lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử cửa hàng giảm giá \(x\left( {x > 0} \right)\) nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A.

Mỗi tháng cửa hàng bán được số sản phẩm là \(100 - 10x\).

Với mỗi sản phẩm bán được, cửa hàng thu được lợi nhuận là \(20 - x\) nghìn đồng (lợi nhuận có thể âm).

Lợi nhuận cửa hàng thu được từ bán sản phẩm A là:

\(L = \left( {100 + 10x} \right)\left( {20 - x} \right) =  - 10{x^2} + 100x + 2000\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(y =  - 10{x^2} + 100x + 2000\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' =  - 20x + 100\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 20x + 100 = 0 \Leftrightarrow x = 5\)

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 5 \right) = 2250\).

Do đó, lợi nhuận L lớn nhất là 225 000 đồng, đạt được khi cửa hàng giảm giá 5000 đồng cho mỗi sản phẩm A.