Đề bài

Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là \(500d{m^3}\) (Hình 1). Biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ \(3dm\) đến \(10dm\).
a) Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {dm} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {dm} \right)\) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu \(S\), có thể được biểu thị bằng biểu thức nào?
b) Có thể biểu thị tổng diện tích \(S\) theo \(x\) không? Biến \(x\) nhận giá trị trong miền nào?
c) Với giá trị nào của \(x\) thì \(S\) có giá trị nhỏ nhất?

Phương pháp giải

• Biểu thị \(S\) thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {dm} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {dm} \right)\).

Diện tích xung quang của thùng là: \(4{\rm{x}}{\rm{.h}}\left( {d{m^2}} \right)\).

Diện tích đáy của thùng là: \({x^2}\left( {d{m^2}} \right)\).

Tổng diện tích các mặt của thùng là: \(S = {x^2} + 4{\rm{x}}h\left( {d{m^2}} \right)\) với \(x > 0,3 \le h \le 10\).

b) Từ giả thiết \(V = {x^2}h \Leftrightarrow 500 = {x^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{500}}{{{x^2}}}\).

Khi đó \(S = {x^2} + 4\,.\,\frac{{500}}{{{x^2}}}x = {x^2} + \frac{{2000}}{x}\left( {x > 0} \right)\).

c) Ta có: \(S' = 2{\rm{x}} - \frac{{2000}}{{{x^2}}}\)

\(S' = 0 \Leftrightarrow x = 10\).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S = f\left( {10} \right) = 300\). Khi đó \(h = \frac{{500}}{{{{10}^2}}} = 5\left( {dm} \right)\) thoả mãn điều kiện \(3 \le h \le 10\).

Vậy với \(x = 10\left( {dm} \right)\) thì \(S\) có giá trị nhỏ nhất.