Đề bài

Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng \(a\left( {cm} \right)\) không đổi (Hình 5). Gọi \(\alpha \) là một góc của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên \(\left( {\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi } \right)\). Tìm \(\alpha \) để diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

Phương pháp giải

• Biểu thị diện tích mặt cắt ngang của máng thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Dựng \(AH \bot BC\). Khi đó \(AH = h\) là chiều cao của mặt cắt ngang.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ABH} = \pi  - \alpha  \Rightarrow h = AB.\sin \widehat {ABH} = a\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = a\sin \alpha \\BH = AB.\cos \widehat {ABH} = a\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - a\cos \alpha \\A{\rm{D}} = BC + 2BH = a - 2a\cos \alpha \end{array}\)

Diện tích của mặt cắt ngang là:

\(S = \frac{1}{2}\left( {A{\rm{D}} + BC} \right).AH = \frac{1}{2}\left( {a + a - 2{\rm{a}}\cos \alpha } \right).a\sin \alpha  = {a^2}\left( {1 - \cos \alpha } \right)\sin \alpha  = {a^2}\left( {\sin \alpha  - \frac{1}{2}\sin 2\alpha } \right)\).

Xét hàm số \(f\left( \alpha  \right) = \sin \alpha  - \frac{1}{2}\sin 2\alpha \) trên \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).

Ta có: \(f'\left( \alpha  \right) = \cos \alpha  - \cos 2\alpha \)

\(\begin{array}{l}f'\left( \alpha  \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha  - \cos 2\alpha  = 0 \Leftrightarrow \cos 2\alpha  = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\alpha  = \alpha  + k2\pi \\2\alpha  =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = k2\pi \\3\alpha  = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = k2\pi \\\alpha  = k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha  = k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Do \(\alpha  \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)} f\left( \alpha  \right) = f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước có giá trị lớn nhất bằng \({a^2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) khi \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\).