Đề bài

Trong 100 g thịt bò loại I có chứa 21 g protein và 3,5 g lipid; 100 g thịt bò loại II có chứa 18 g protein và 10,5 g lipid. Biết rằng thịt bò loại I có giá 220 nghìn đồng/kg thì thịt bò loại II có giá 210 nghìn đồng/kg. Để có lượng thực phẩm từ hai loại thịt bò trên cung cấp ít nhất 630 g protein và 210 g lipid, cần mua khối lượng bao nhiêu cho mỗi loại thịt bò loại I và II sao cho chi phí thấp nhất?

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết (cần tìm). Viết điều kiện có nghĩa cho các ẩn đó.

Bước 2: Từ dữ kiện của bài toán, viết biểu thức biểu thị đại lượng cần tìm giá trị tối ưu và các bất phương trình bậc nhất đối với hai ẩn trên. Từ đó phát biểu bài toán quy hoạch tuyến tính nhận được.

Bước 3: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính và trả lời.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(x,y\) (\(x \ge 0,y \ge 0\), tính theo 100g) lần lượt là khối lượng của thịt bò loại I và loại II cần dùng.

Do cần cung cấp ít nhất 630g protein nên ta có \(21x + 18y \ge 630\) hay \(7x + 6y - 210 \ge 0\).

Do cần cung cấp ít nhất 210g lipid nên ta có \(3,5x + 10,5y \ge 210\) hay \(x + 3y - 60 \ge 0\).

Ta có: 220 nghìn đồng/kg=22 nghìn đồng/100g; 210 nghìn đồng/kg=21 nghìn đồng/100g.

Chi phí để mua thịt bò là \(F = 22x + 21y\) (nghìn đồng).

Từ đó, ta cần giải bài toán quy hoạch tuyến tính: \(F = 22x + 21y \to \min \) với ràng buộc \(\left\{ \begin{array}{l}7{\rm{x}} + 6y - 210 \ge 0\\x + 3y - 60 \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).

Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7{\rm{x}} + 6y = 210\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 35\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {0;35} \right)\).

Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7{\rm{x}} + 6y = 210\\x + 3y = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 18\\y = 14\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {18;14} \right)\).

Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 60\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 0\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {60;0} \right)\).

Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):

\(F\left( {0;35} \right) = 22.0 + 21.35 = 735;F\left( {18;14} \right) = 22.18 + 21.14 = 690;F\left( {60;0} \right) = 22.60 + 21.0 = 1320\)

Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {18;14} \right) = 690\).

Vậy cần mua \(18.100g = 1,8kg\) thịt bò loại I và \(14.100g = 1,4kg\) thịt bò loại II.