Đề bài

Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (I)

Miền nghiệm \({\Omega }\) của hệ (I) là miền tứ giác \(OABC\) (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:x + 2y - F = 0\) hay \(y =  - \frac{x}{2} + \frac{F}{2}\).

Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.

a) Với giá trị nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\), điểm \(B\)?

b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?

c) Với điều kiện nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung?

d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\). Biểu thức \(F\) đạt được các giá trị đó tại điểm nào?

Phương pháp giải

‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).

‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).

‒ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\) đạt được tại các đỉnh của tứ giác.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) khi \(0 + 2.0 - F = 0\) hay \(F = 0\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) khi \(2 + 2.3 - F = 0\) hay \(F = 8\).

b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y =  - \frac{0}{2} + \frac{F}{2} = \frac{F}{2}\)

Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.

Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.

c) Với điều kiện \(0 \le F \le 8\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung.

d) Ta có: \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {5;0} \right)\).

Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):

\(F\left( {0;0} \right) = 0,F\left( {0;2} \right) = 4,F\left( {2;3} \right) = 8,F\left( {5;0} \right) = 5\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = 8\) tại điểm \(B\left( {2;3} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = 0\) tại điểm \(O\left( {0;0} \right)\).