Đề bài

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

\(F = 2x + y \to \max ,\min \)

với ràng buộc

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \ge 0\\3x - y \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\) (II)

Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\) gọi là các đỉnh của \({\Omega }\).

Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:2x + y = F\) hay \(d:y =  - 2x + F\).

Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.

a) Tìm giá trị của \(F\) để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\). Gọi giá trị tìm được là \({F_A}\).

b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?

c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) trên \({\Omega }\).

d) Với giá trị nào của \(F\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung? Hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) hay không?

Phương pháp giải

‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).

‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) khi \(2.1 + 3 = F\) hay \(F = 5\).

Vậy \({F_A} = 5\).

b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y =  - 2.0 + F = F\)

Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.

Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.

c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) không có điểm chung; Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\Omega }\) F = 5\).

d) \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung khi \(F \ge {F_A} = 5\).

Do đó hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) không đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\).