Đề bài

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

\(F = 3x + 3y \to \max ,\min \)

có tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\) (được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là \(A\left( {0;5} \right),\)\(B\left( {4;1} \right),C\left( {2;1} \right)\) và \(D\left( {0;2} \right)\).

a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.

b) Hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại bao nhiêu điểm? Giải thích.

Phương pháp giải

Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).

Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).

Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):

\(F\left( {0;5} \right) = 3.0 + 3\,.5 = 15;F\left( {4;1} \right) = 3\,.4 + 3\,.1 = 15;F\left( {2;1} \right) = 3.2 + 3\,.1 = 9;F\left( {0;2} \right) = 3\,.0 + 3\,.2 = 6\)

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;5} \right) = F\left( {4;1} \right) = 15;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;2} \right) = 6\).

b) Tại mọi điểm \(\left( {x;y} \right)\) trên cạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\), ta luôn có \(x + y - 5 = 0\) hay \(x + y = 5\).

Do đó \(F = 3x + 3y = 3\left( {x + y} \right) = 3.5 = 15\).

Vậy hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại mọi điểm thuộc ạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\).