Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {3 - 2m} \right)x - {m^2}\) (\(m\) là tham số).
a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - (3 - 2m)x + {m^2} = 0\,\,(1)\).
b) Khi \(m = 0\) phương trình (1) có hai nghiệm là \({x_1} = 0;{\rm{ }}{x_2} = - 3\).
c) Khi \(m = 0\) đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {3;9} \right)\).
d) Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + \left( {3 - 2m} \right){x_2} - 24 = 0\) thì \(m \in \left\{ { - 1;5} \right\}\).
a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - (3 - 2m)x + {m^2} = 0\,\,(1)\).
b) Khi \(m = 0\) phương trình (1) có hai nghiệm là \({x_1} = 0;{\rm{ }}{x_2} = - 3\).
c) Khi \(m = 0\) đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {3;9} \right)\).
d) Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + \left( {3 - 2m} \right){x_2} - 24 = 0\) thì \(m \in \left\{ { - 1;5} \right\}\).
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \((P)\).
b) Thay \(m = 0\) để tìm x.
c) Từ các giá trị x tìm được ở ý b để tìm tọa độ các giao điểm.
d) Áp dụng định lí Viète để giải phương trình.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \((P)\) là:
\(\begin{array}{l}{x^2} = (3 - 2m)x - {m^2}\\{x^2} - (3 - 2m)x + {m^2} = 0\,\,(1)\end{array}\).
Chọn Đúng
b) Với \(m = 0\) ta được phương trình \({x^2} - 3x = 0\) suy ra \({x_1} = 0;{\rm{ }}{x_2} = 3\).
Chọn Sai
c) Với \(m = 0\) phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0,{\rm{ }}{x_2} = 3\).
+ Với \({x_1} = 0\) ta có \({y_1} = 0\).
+ Với \({x_2} = 3\) ta có \({y_2} = 9\).
Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {3;9} \right)\) với \(m = 0\).
Chọn Đúng
d) Đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) hay \({\left( {3 - 2m} \right)^2} - 4{m^2} > 0\) suy ra \(m < \frac{3}{4}\).
Vì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) nên \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\).
Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2}\end{array} \right.\) (*).
Ta có: \(x_1^2 + \left( {3 - 2m} \right){x_2} - 24 = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \({x_1} + {x_2} = 3 - 2m\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được
\(\begin{array}{l}x_1^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} - 24 = 0\\x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} - 24 = 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_1} - 24 = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Thay (*) vào \(\left( 3 \right)\) ta được:
\({(3 - 2m)^2} - {m^2} - 24 = 0\)
\(\begin{array}{l}9 - 12m + 4{m^2} - {m^2} - 24 = 0\\3{m^2} - 12m - 15 = 0\\{m^2} - 4m - 5 = 0\end{array}\)
\(\left( {m + 1} \right)\left( {m - 5} \right) = 0\)
\(m = - 1\,\,(TM)\) hoặc \(m = 5\,\,\left( {KTM} \right)\)
Vậy \(m = - 1\).
Chọn Sai
Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)
Giải các phương trình:
a) \({x^2} - 12x = 0\)
b) \(13{x^2} + 25x - 38 = 0\)
c) \(3{x^2} - 4\sqrt 3 x + 4 = 0\)
d) \(x(x + 3) = 27 - (11 - 3x)\)
Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\).
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)
b) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\). Chứng minh cả 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều khác 0.
c) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)
d) Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\)
e) Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)
Bác Đạt muốn thiết kế cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 2,52 m2 và chu vi bằng 6,4m. Tìm kích thước của cửa sổ đó.
Cho phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)
a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}\).
