Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0{\rm{ }}(1)\) (với \(m\)là tham số)

a) Khi \(m = 1\) thì phương trình có 2 nghiệm \({x_1} =  - 1;{\rm{ }}{x_2} = 3\)

Đúng

Sai

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ +  }}{x_2} = 2\left( {m - 2} \right);{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m\)

Đúng

Sai

c) Giá trị của của biểu thức \({{\rm{x}}_1}^2 + {{\rm{x}}_2}^2 = 2{m^2} - 8m + 16\).

Đúng

Sai

d) Phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}\) khi \(m = 3\)

Đúng

Sai

Đáp án

a) Khi \(m = 1\) thì phương trình có 2 nghiệm \({x_1} =  - 1;{\rm{ }}{x_2} = 3\)

Đúng

Sai

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ +  }}{x_2} = 2\left( {m - 2} \right);{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m\)

Đúng

Sai

c) Giá trị của của biểu thức \({{\rm{x}}_1}^2 + {{\rm{x}}_2}^2 = 2{m^2} - 8m + 16\).

Đúng

Sai

d) Phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}\) khi \(m = 3\)

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Thay m = 1 vào phương trình để tìm x.

b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Viète để tìm \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).

c) Từ hệ thức Viète để xử lý biểu thức.

d) Biến đổi phương trình với hệ thức Viète.

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình: \({x^2} - 2x - 3 = 0\)

Vì \(a - b + c = 1 - ( - 2) + ( - 3) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} =  - 1;{\rm{ }}{x_2} = 3\).

Chọn Đúng

b) Ta có:

\(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - {m^2} + 4m = {m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 4m = 4 > 0\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m - 2} \right) =  - 2m + 4\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m\end{array} \right.\)

Chọn Sai

c) Ta có

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 4m} \right) = 2{m^2} - 8m + 16\)

Chọn Đúng

d) Theo bài ta có:

\(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}\) (ĐKXĐ: \({x_1}{x_2} \ne 0\) hay \({m^2} - 4m \ne 0\) suy ra \(m \ne 0,m \ne 4\))

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{{x_1}}} - \frac{3}{{{x_2}}} - {x_1} + {x_2} = 0\\3\left( {\frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right) = 0\\\frac{{3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right) = 0\\\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\frac{3}{{{x_1}{x_2}}} + 1} \right) = 0\end{array}\)

\(\frac{3}{{{x_1}{x_2}}} + 1 = 0\) (do \({x_1} \ne {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} \ne 0\))

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{{m^2} - 4m}} + 1 = 0\\{m^2} - 4m + 3 = 0\end{array}\)

Suy ra \(m = 3(tm)\) hoặc \(m = 1(tm)\)

Vậy \(m = 1;{\rm{ }}m = 3\) là các giá trị thỏa mãn bài toán.

Chọn Sai.

Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) S