Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0{\rm{ (1)}}\) (với m là tham số)

a) Với \(m = 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Đúng

Sai

b) Với \(m = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ +  }}{x_2} = 6;{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 8\) .

Đúng

Sai

c) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Đúng

Sai

d) Để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {2m - 2} \right){x_1} + {x_2}^2 - 4{x_2} = 4{\rm{ (2)}}\) thì \(m \in \left\{ { - 2;{\rm{ }}\frac{1}{2}} \right\}\).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Với \(m = 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Đúng

Sai

b) Với \(m = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ +  }}{x_2} = 6;{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 8\) .

Đúng

Sai

c) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Đúng

Sai

d) Để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {2m - 2} \right){x_1} + {x_2}^2 - 4{x_2} = 4{\rm{ (2)}}\) thì \(m \in \left\{ { - 2;{\rm{ }}\frac{1}{2}} \right\}\).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Nếu a.c < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Thay m = 2, tính biệt thức \(\Delta '\) và áp dụng hệ thức Viète.

c) \(\Delta ' > 0\) với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

d) Tính biệt thức \(\Delta '\) và áp dụng hệ thức Viète để biểu diễn \(x_2^2 - 4{x_2}\) theo \(m\).

Thay vào (2) để tìm \(m\).

a) Với \(m = 0\) thì phương trình (1) trở thành \({x^2} - 2x - 4 = 0{\rm{ (1)}}\) có \(ac = 1.( - 4) < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Chọn Đúng

b) Với \(m = 2\) thì phương trình (1) trở thành \({x^2} - 6x + 8 = 0\) có biệt thức \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\).

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

\({x_1}{\rm{ +  }}{x_2} = 6;{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 8\).

Chọn Đúng

c) Ta có: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0{\rm{ (1)}}\)

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 6m + 4 = {m^2} - 4m + 5 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0\,\) với mọi giá trị của m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn Đúng

d) Áp dụng hệ thức Viète, ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 6m - 4\end{array} \right.\)

Do \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

\(\begin{array}{l}x_2^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 6m - 4 = 0\\x_2^2 - 2m{x_2} - 2{x_2} + 6m - 4 = 0\\x_2^2 - 4{x_2} + 2{x_2} - 2m{x_2} + 6m - 4 = 0\\x_2^2 - 4{x_2} =  - 2{x_2} + 2m{x_2} - 6m + 4\,(3)\end{array}\)

Thay \((3)\) vào \((2)\) ta có:

\(\begin{array}{l}2m{x_1} - 2{x_1} - 2{x_2} + 2m{x_2} - 6m + 4 = 4\\2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2.({x_1} + {x_2}) - 6m = 0\\2m.2(m + 1) - 2.2(m + 1) - 6m = 0\\4{m^2} + 4m - 4m - 4 - 6m = 0\\4{m^2} - 6m - 4 = 0\\2{m^2} - 3m - 2 = 0\end{array}\)

Phương trình này có hai nghiệm là \(m = 2\) và \(m =  - \frac{1}{2}\).

Vậy\(\,m \in \left\{ {2;\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\,\).

Chọn Sai

Đáp án a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S