Đề bài

Cho phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\). Số giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 9\) là:

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Sử dụng định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 3 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\) với mọi \(m\).

Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right.\).

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 9\) suy ra \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 9\) (thêm bớt \(2{x_1}{x_2}\) để sử dụng hằng đẳng thức)

Suy ra\({\left( {2m} \right)^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 9\)

\(\begin{array}{l}4{m^2} - 4m + 6 - 9 = 0\\4{m^2} - 4m - 3 = 0\end{array}\)

Phương trình có hai nghiệm \(m = \frac{3}{2};m = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án: 2