Đề bài

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7).

a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).

b) Viết phương trình của mặt cầu (S).

Phương pháp giải

a) Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đường kính AB. Giả sử \(A({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(B({x_2};{y_2};{z_2})\), thì tọa độ của I là: \(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2};\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right)\).

Bán kính \(r\) của mặt cầu bằng nửa độ dài của đoạn AB. Công thức tính độ dài đoạn AB là:

\(AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \). Vậy bán kính r là: \(r = \frac{{AB}}{2}\).

b) Phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính r là: \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tâm I là trung điểm của đoạn AB, nên tọa độ của I là: \(I\left( {\frac{{6 + ( - 4)}}{2};\frac{{2 + 0}}{2};\frac{{ - 5 + 7}}{2}} \right) \Rightarrow I(1;1;1)\).

b) Độ dài đoạn AB được tính như sau: \(AB = \sqrt {{{(6 - ( - 4))}^2} + {{(2 - 0)}^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} = 2\sqrt {62} \).

Vậy bán kính r là: \(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {62} }}{2} = \sqrt {62} \).