Đề bài

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a  + a}}} \right):\frac{{\sqrt a  - 1}}{{2\sqrt a  + a + 1}}\) \(\left( {a > 0;a \ne 1} \right)\).

a) \(A = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}\).

Đúng

Sai

b) Giá trị của A khi \(a = 4\) là \(\frac{3}{2}\).

Đúng

Sai

c) Khi \(a \ge 1\) thì \(\sqrt a .A \ge 2\).

Đúng

Sai

d) Có \(0\) giá trị nguyên của \(a\) để \(A\) nguyên.

Đúng

Sai

Đáp án

a) \(A = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}\).

Đúng

Sai

b) Giá trị của A khi \(a = 4\) là \(\frac{3}{2}\).

Đúng

Sai

c) Khi \(a \ge 1\) thì \(\sqrt a .A \ge 2\).

Đúng

Sai

d) Có \(0\) giá trị nguyên của \(a\) để \(A\) nguyên.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn.

b) Thay \(a = 4\) vào A để tính giá trị biểu thức A.

c) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tính.

d) Đưa A về dạng \(A = a + \frac{b}{c}\) với a, b là các số nguyên, c là biểu thức chứa x.

a) Đúng

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a  + a}}} \right):\frac{{\sqrt a  - 1}}{{2\sqrt a  + a + 1}}\\A = \left[ {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {1 + \sqrt a } \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a  - 1}}{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}\\A = \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a  - 1}}\\A = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}\end{array}\)

b) Đúng

Thay \(a = 4\) vào A, ta được: \(A = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{\sqrt 4 }} = \frac{3}{2}\).

c) Sai

Ta có: \(\sqrt a .A = \sqrt a .\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }} = \sqrt a  + 1\).

Vì \(\sqrt a .A \ge 2\) nên \(\sqrt a  + 1 \ge 2\), suy ra \(\sqrt a  \ge 1\), do đó \(a \ge 1\).

Kết hợp với điều kiện \(a \ne 1\), ta có \(a > 1\).

d) Đúng

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}\).

Để A nguyên thì \(A = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}\) nguyên, do đó \(\frac{1}{{\sqrt a }}\) nguyên.

Để \(\frac{1}{{\sqrt a }}\) nguyên thì \(\sqrt a \) là ước của 1, và \(\sqrt a  > 0\) nên \(\sqrt a  = 1\). Suy ra \(a = 1\).

Mà \(a \ne 1\) nên không có giá trị của a để \(A\) nguyên.

Đáp án a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ