Đề bài

Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\)  và \(Q = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi \(x = 16\).

c) Biết \(M = P:Q\). Tìm giá trị của x để \({M^2} < \frac{1}{4}\).

Phương pháp giải

a) Rút gọn phân thức trước rồi rút gọn biểu thức.

b) Thay \(x = 16\) vào P để tính giá trị.

c) Tìm M thay vào \({M^2} < \frac{1}{4}\) để tìm x, lưu ý điều kiện đầu bài.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có:

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}\).

b) Thay \(x = 16\) vào P, ta được:

\(P = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16}  - 2}} = \frac{4}{{4 - 2}} = \frac{4}{2} = 2\).

Vậy với \(x = 16\) thì \(P = 2\).

c) Ta có:

\(M = P:Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{\mkern 1mu} \)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}.\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}\)

Vì \({M^2} < \frac{1}{4}\) nên \({\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}} \right)^2} < \frac{1}{4}\). Suy ra \(\left| {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}} \right| < \frac{1}{2}\)

Vì \(\sqrt x  > 0\) nên \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} > 0\)

Do đó \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} < \frac{1}{2}\)

\(2\sqrt x {\rm{\;}} < \sqrt x {\rm{\;}} + 2\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} < 2\)

\(x < 4\)

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4\) ta được \(0 \le x < 4\).

Vậy để \({M^2} < \frac{1}{4}\) thì \(0 \le x < 4\).